ad720-90

শেষ অঙ্ক দুটি দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি কত?


গণিতআমরা অনেক সময় কোনো বড় সংখ্যা ২, ৩, ৫, … দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য কি না, জানতে চাই। এর কতগুলো নির্দিষ্ট নিয়ম আছে। অবশ্য ২ দিয়ে বিভাজ্যতা বের করা খুব সহজ। সব জোড় সংখ্যা ২ দিয়ে বিভাজ্য। আবার কোনো সংখ্যার শেষে ০ অথবা ৫ থাকলে সেই সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য। কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দিয়ে বিভাজ্য হলে পুরো সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য। যদি যোগফল বড় হয় তাহলে আবার সেই যোগফলের অঙ্কগুলোর যোগফল বের করব। এভাবে যোগ করার প্রক্রিয়া চলবে যতক্ষণ না যোগফল এক অঙ্কে পৌঁছায়। সেটা যদি ৩ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে বলা যাবে সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য। যেমন ৫৯০৪৯ সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য কি না পরীক্ষা করে দেখি। অঙ্কগুলোর যোগফল = ( ৫ + ৯ + ০ + ৪ + ৯) = ২৭। আবার যোগ করি। (২ + ৭) = ৯, যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য। তাই বলতে পারি ৫৯০৪৯ সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য। ভাগ করে দেখুন। ভাগফল = ১৯৬৮৩, ভাগশেষ ০। এই নিয়মগুলো আমরা অনেকেই জানি।

কিন্তু কোনো সংখ্যা ৭ দিয়ে বিভাজ্য কি না? কীভাবে জানব? এর একটা নিয়ম আছে। প্রথমে সংখ্যাটির শেষ অঙ্কটি নিয়ে নিন। একে দ্বিগুণ করুন। এবার অবশিষ্ট সংখ্যাটি থেকে এই দ্বিগুণ সংখ্যাটি বিয়োগ করুন। এই বিয়োগফল যদি ৭ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে পুরো সংখ্যাটিও ৭ দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেমন ২৪০১ সংখ্যাটি ৭ দিয়ে বিভাজ্য কি না, দেখা যাক। প্রথমে শেষ অঙ্ক ১ কেটে নিয়ে দ্বিগুণ করি। অবশিষ্ট ২৪০ থেকে ২ বিয়োগ করলে থাকবে ২৩৮। এর শেষ অঙ্ক ৮ কেটে নিয়ে দ্বিগুণ করি। এবার অবশিষ্ট ২৩ থেকে ১৬ বিয়োগ করলে থাকবে ৭, যা ৭ দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং ২৪০১ সংখ্যাটি ৭ দিয়ে বিভাজ্য।

আবার কোনো সংখ্যা ৮ দিয়ে বিভাজ্য কি না, তা বের করারও একটি মজার নিয়ম আছে। সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি যদি ৮ দিয়ে বিভাজ্য হয় তাহলে সেই সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেমন ৭১৬৮ সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যা ১৬৮। এটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য।তাহলে বলতে পারি ৭১৬৮ সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য। মিলিয়ে দেখুন, (৭১৬৮÷৮) = ৮৯৬। এখানে মজার একটি ব্যাপার হলো, যেহেতু আমরা দেখলাম ১৬৮ সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য, তাই এর আগে ৩, ৫ বা ৯ যেটাই থাকুক, সেই সংখ্যাগুলো ৮ দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেমন, (৩১৬৮÷৮) = ৩৯৬। (৫১৬৮÷৮) = ৬৪৬। (৯১৬৮÷৮) = ১১৪৬ ইত্যাদি।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
আচ্ছা বলুনতো, ৩ সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক দুটি দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি কত? অর্থাৎ, ৩-এর ঘাত (পাওয়ার) ৯ হলে যে বড় একটি সংখ্যা পাওয়া যাবে, তার শেষ অঙ্ক দুটি দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি কত?
খুব সহজ। অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা quayum@gmail.com ই-মেইলে আপনাদের উত্তর পাঠিয়ে দিন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার অনলাইনে।

গত সপ্তাহের ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: দুইটি ২ ও তিনটি ৩, অর্থাৎ ২, ২ এবং ৩, ৩, ৩ এই পাঁচটি অঙ্ককে বিভিন্নভাবে সাজিয়ে পাঁচ অঙ্কের কতটি স্বতন্ত্র সংখ্যা গঠন করা যাবে?

উত্তর
মোট ১০টি স্বতন্ত্র সংখ্যা গঠন করা যাবে।

কীভাবে উত্তর বের করলাম
মোট পাঁচটি অঙ্কের সংখ্যার প্রথম ঘরে ২ রেখে অন্য চারটি ঘরে চারটি স্বতন্ত্র সংখ্যা গঠন করা যাবে। আবার প্রথম ঘরে ৩ রেখে অন্য চারটি ঘরে দুইটি ৩ ও দুইটি ২ কে ছয়ভাবে রেখে ছয়টি স্বতন্ত্র সংখ্যা গঠন করা যাবে। সুতরাং মোট (৪ + ৬) = ১০টি সংখ্যা গঠন করা যাবে। সংখ্যাগুলো হলো ২২৩৩৩, ২৩২৩৩, ২৩৩২৩, ২৩৩৩২, ৩৩৩২২, ৩৩২৩২, ৩৩২২৩, ৩২৩৩২, ৩২২৩৩ ও ৩২৩২৩।

অবশ্য আমরা এখানে পরিসংখ্যানের একটি সূত্র ব্যবহার করে উত্তর বের করতে পারি। সূত্রটি হলো সংখ্যাটির মোট অঙ্কের ফ্যাকটোরিয়ালকে একই অঙ্কের সংখ্যাগুলোর ফ্যাকটোরিয়াল-এর গুণফল দিয়ে ভাগ করা। অর্থাৎ মোট স্বতন্ত্র সংখ্যা = ( ৫!) ÷ (২!×৩!) =
(৫ ×৪ ৩ ×২ ×১) ÷ (২ ×১) ×(৩ ×২ ×১) = (১২০÷ ১২) = ১০।

আব্দুল কাইয়ুম, সম্পাদক, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তা





সর্বপ্রথম প্রকাশিত

Sharing is caring!

Comments

So empty here ... leave a comment!

Leave a Reply

Sidebar